关于最简四次域族的域同构问题

决定两个多项式在有理数上其分解域是否同构是域同构问题。我们考虑形如 $f_n(x) = x^4-nx^3-6x^2+nx+1$ 的多项式，其中 $n \neq 3$ 为正整数，并记 $K_n$ 为 $f_n(x)$ 的分解域，即“最简四次域”。我们的主要定理指出，在 certain 假设条件下，最多只能存在一个正整数 $m \neq n$ 使得 $K_m = K_n$。该证明依赖于循环序列中平方数的存在性，以及 J.H.E. Cohn [3] 的结果。这些序列使我们能够在第 5 节的额外假设条件下建立分解域的唯一性，并在第 6 节中与椭圆曲线建立联系。