关于二次域类群3-rank 的研究

设 $n\ge1$，$r\ge0$ 和 $s\ge0$ 为整数，且满足 $4+r+3s\le3^{n+1}$。给定线性多项式 $f_{i}(x)=m_{i} x+n_{i}$（$1 \le i \le r+s$），其中系数 $m_{i} , n_{i}$ 为满足特定条件的正整数。我们证明存在无限多个基本判别数 $D>0$，使得每个二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{f_1(D)}), \ldots, \mathbb{Q}(\sqrt{f_r(D)})$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt{-f_{r+1}(D)}), \ldots, \mathbb{Q}(\sqrt{-f_{r+s}(D)})$ 的3-rank 同时小于 $n$。此外，对于任意正整数 $k$，存在正整数 $a, d$，使得每个二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{a+g_1(d)}), \ldots,\mathbb{Q}(\sqrt{a+g_k(d)})$ 的3-rank 同时小于 $n$，其中 $g_1(x), g_2(x), \ldots, g_k(x)$ 为在整数上取整数值且无常数项的多项式。