环类域与 Hasse 的一个结果

对于无平方因子的 $d>1$，设 $M$ 为 $F=Q(\sqrt{-3d})$ 中阶 $Z[\sqrt{-3d}]$ 的环类域。Hasse 证明了 $3$ 整除 $F$ 的类数当且仅当存在 $Q$ 的三次扩张 $E$ 使得 $E$ 与 $F$ 具有相同的判别式。定义实立方根 $v=(a+b\sqrt{d})^{1/3}$ 和 $v'=(a-b\sqrt{d})^{1/3}$，其中 $a+b\sqrt{d}$ 是 $Q(\sqrt{d})$ 中的基本单位。我们证明了 $E$ 可取为 $Q(v+v')$ 当且仅当 $v \in M$。作为证明的副产品，我们给出了 $a$ 和 $b$ 的显式同余式，这些同余式成立当且仅当 $v \in M$；我们还证明了 $F(v)/F$ 的相对判别式的范数属于 $\{1, 3^6\}$ 或 $\{3^8, 3^{18}\}$，分别对应 $v \in M$ 或 $v \notin M$ 的情形。随后，我们证明了 $v$ 始终位于 $F$ 中阶 $Z[\sqrt{-27d}]$ 的环类域内。上述部分结果被推广至适当包含基本单位 $a+b\sqrt{d}$ 的 $Q(\sqrt{d})$ 的子集。