实二次域类数的上界

我们证明了对于任意 $\varepsilon>0$， discriminant 为 $d<x$ 的实二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中，类数为 $\ll \sqrt{d}(\log{d})^{-2}(\log\log{d})^{-1}$ 的域的个数至少为 $x^{1/2-\varepsilon}$（当 $x$ 足够大时）。这在 $\log\log{d}$ 上提升了 1971 年 Yamamoto 的结果。我们还为任意 $m\geq 1$ 的 discriminant $m$ 元组给出类似估计。最后，我们提供代数条件来给出 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 基本单位大小的下界，推广了 Yamamoto 的判据。我们的证明纠正了 Halter-Koch 的工作。