不定二元二次型类数的大矩与极值

设$h(d)$为判别式为$d$的不定二元二次型的类数，$\varepsilon_d$为相应的基本单位。在本文中，我们针对满足$\varepsilon_d\leq x$的正判别式$d$，在实数$k$满足$0<k\leq (\log x)^{1-o(1)}$范围内一致地给出了$h(d)$的$k$阶矩的渐近公式。这改进了Raulf的工作，后者仅对固定的正整数$k$获得了此类渐近式。我们还研究了当$d$按其基本单位$\varepsilon_d$的大小排序时$h(d)$大值的分布。特别地，我们证明了该分布的尾部与按判别式大小排序的虚二次域类数的尾部具有相同的形状。作为这些结果的应用，我们证明存在许多正判别式$d$，其类数$h(d)\geq (e^{\gamma}/3+o(1))\cdot\varepsilon_d (\log\log \varepsilon_d)/\log \varepsilon_d$，我们相信该界是最佳的。在假设广义Riemann猜想的前提下，我们还得到了$h(d)$的一个两倍大的上界。