复矩与函数域上 $L(1,\chi_D)$ 的值分布及其在类数中的应用

在本文中，我们研究 $L(1,\chi_D)$ 的矩与分布，其中 $\chi_D$ 取遍 $\mathbb{F}_q$ 上次数为 $n$ 的无平方因子多项式 $D$ 所关联的二次特征，当 $n\to\infty$ 时。我们的第一个结果在大范围一致区间内给出了 $L(1,\chi_D)$ 复矩的渐近公式。此前，由于 Andrade 和 Jung 的工作，仅计算了第一矩。利用我们的渐近公式与鞍点法，我们证明 $L(1,\chi_D)$ 的分布函数非常接近相应概率模型的分布函数。特别地，我们揭示了 $L(1, \chi_D)$ 大值（与小值）分布中一个有趣的特征，该特征在数域情形中并不存在。我们还得到了 $L(1,\chi_D)$ 极值值的 $\Omega$-结果，我们推测其是最佳可能的。取 $n=2g+1$ 并应用 Artin 类数公式的一种情形，我们得到了与 $\mathbb{F}_q(T)[\sqrt{D}]$ 关联的类数 $h_D$ 的类似结果。类似地，取 $n=2g+2$ 我们可以诉诸 Artin 类数公式的第二种情形，并推导出 $h_DR_D$ 的相应结果，其中 $R_D$ 是 $\mathbb{F}_q(T)[\sqrt{D}]$ 的调节子。