关于二次整数与实二次数域的注记

本文证明，当考虑具有固定范数 $\mu$ 的实二次整数 $\xi$ 时，域 $\mathbb{Q}(\xi) = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的基本单位 $\varepsilon_d$ 几乎总是满足 $\log \varepsilon_d \gg (\log d)^2$。通过二次序列给出了包含此类域所有被开方数 $d$ 的更一般集合的简易构造，并明确估计了该替换的效率。当 $\mu = -1$ 时，该构造给出了负 Pell 方程 $X^2 - d Y^2 = -1$（或更一般地 $X^2 - D Y^2 = -4$）可解的所有 $d$ 值。当 $\mu$ 为素数时，它给出了所有位于 $\mu$ 之上的素理想为主理想的实二次域。