关于二维Erdős-Szekeres定理的注记

Burkill与Mirsky,以及Kalmanson各自独立证明:对任意$r\ge 2, n\ge 1$,存在$\mathbb R^n$中长度为$r^{2^n}$的向量序列,其不包含长度为$r+1$的子序列$v^1, v^2,\dots,v^{r+1}$,使得对每个介于1与$n$之间的$i$,$(v^{j}_i)_{1\le j\le r+1}$构成单调序列。此外,$r^{2^n}$是具有该性质的最大整数。在本短注中,对$\mathbb R^n$中两向量$u = (u_1, u_2,\dots, u_n)$与$v = (v_1, v_2, \dots, v_n)$,若对每个介于1与$n$之间的$i$均有$u_i\le v_i$,则称$u\le v$。正如Burkill与Mirsky以及Kalmanson那样,对任意$k, \ell\ge 1, d\ge 2$,我们找出最大的$N_1, N_2$(二者相等),使得存在大小为$(k+\ell-1)\times N_1$与$(k+\ell)\times N_2$的数值二维数组,其既不包含大小为$k\times d$、各列构成$\mathbb R^k$中$d$个向量的非递减序列的子数组,也不包含大小为$\ell\times d$、各列构成$\mathbb R^{\ell}$中$d$个向量的非递增序列的子数组。在随后的讨论中,我们考虑了该设定的一般化,并与编码理论中的一个著名问题建立了联系。