关于单调序列的数量

Ramsey 理论中最经典的结果之一是 Erd\H{o}s 和 Szekeres 于 1935 年提出的定理，该定理指出任何长度超过 $k^2$ 的序列都包含一个长度为 $k+1$ 的单调子序列。受此结果启发，我们探讨以下自然问题：给定整数 $k$ 和 $n$ 且 $n \geq k^2+1$，任何长度为 $n$ 的序列必须包含多少个长度为 $k+1$ 的单调子序列？我们对所有充分大的 $k$ 以及 $n \leq k^2 + c k^{3/2} / \log k$ 的情况精确回答了这个问题，其中 $c$ 是某个绝对正常数。