Erdős–Szekeres定理的三个推广：k-模子序列

Erdős和Szekeres证明了给定$[n]$的一个排列$p$，以及由$(p(1), p(2), \ldots, p(n))$定义的序列，存在一个长度至少为$\sqrt{n}$的递减或递增子序列（不一定连续）。Fan Chung考虑了最多只能改变一次方向的子序列，即先增后减的子序列，或先减后增的子序列。她将这些子序列称为单模子序列，并证明了存在长度至少为$\sqrt{3n}$的单模子序列（至多差某些常数 \cite{chung}）。她猜想一个$n$的排列包含一个长度至少为$\sqrt{(2k+1)n}$的$k$-模子序列（最多$k$次方向变化），至多差某些常数。Zijian Xu于2024年证明了该猜想 \cite{xu}，我们将提供另一个本质上不同的证明，使用'精巧的标记论证'而非'k-模子序列背后的偏序集结构'。我们还证明了存在一个长度至少为$\sqrt{2kn}$的先增$k$-模子序列。