正分数 Erdős–Szekeres 定理及其应用

Erdős 与 Szekeres 的一个著名定理指出，任意 $n$ 个互异实数的序列包含长度至少为 $\sqrt{n}$ 的单调子序列。本文中，我们证明该定理的一个正分数版本。对于 $n > (k-1)^2$，任意由 $n$ 个互异实数构成的序列 $A$ 包含依次出现的大小均为 $s=\Omega(n/k^2)$ 的子集族 $A_1,\ldots, A_k \subset A$，使得每个形如 $(a_1,\ldots, a_k)$（其中 $a_i \in A_i$）的子序列递增，或每个此类子序列递减。上述子序列 $S = (A_1,\ldots, A_k)$ 称为深度 $k$、块大小 $s$ 的块单调序列。我们的定理在渐近意义下最佳，且源于一个更一般的单调路径 Ramsey 型结果，我们认为其具有独立意义。我们还证明，对任意正整数 $k$，任意有限互异实数序列在删去至多 $(k-1)^2$ 项后，可划分为 $O(k^2\log k)$ 个深度至少 $k$ 的块单调子序列。我们将结果应用于图绘制中的相互规避平面点集与双弧图。