关于共轭不变独立随机置换的最长公共子序列

Bukh 与 Zhou 猜想，大小为 $n$ 的两个独立同分布随机置换的最长公共子序列长度的期望大于 $\sqrt{n}$。我们在本文中证明，存在一个通用常数 $n_1$，使得对于大小大于 $n_1$ 且分布共轭不变的任意一对独立同分布随机置换，其猜想均成立。我们还证明，渐近地，该期望至少具有 $2\sqrt{n}$ 阶，这正是均匀情形的渐近行为。更一般地，在两个置换的律不必相同的情况下，我们给出了该期望的一个下界。特别地，我们证明若其中一个置换共轭不变且对其循环数的期望有良好的控制，则最长公共子序列长度的极限涨落为 Tracy-Widom 型。该结果独立于第二个置换的律成立。