拉姆齐数与单调着色

对于正整数 $N$ 和 $r \geq 2$，集合 $\binom{\{1,\dots,N\}}{r}$ 的一个 $r$-单调着色是指用 $-1$ 和 $+1$ 进行的 2-着色，该着色在取自 $\binom{\{1,\dots,N\}}{r+1}$ 的每个 $(r+1)$-元组所对应的按字典序排列的 $r$-元组序列上是单调的。令 ${\overline{R}_{mon}}(n;r)$ 为使得 $\binom{\{1,\dots,N\}}{r}$ 的每一个 $r$-单调着色都包含 $\binom{\{1,\dots,n\}}{r}$ 的单色副本的最小 $N$。对每个 $r \geq 3$，已知 ${\overline{R}_{mon}}(n;r) \leq tow_{r-1}(O(n))$，其中 $tow_h(x)$ 是高度为 $h-1$ 的塔函数，定义为 $tow_1(x)=x$ 且对 $h \geq 2$ 有 $tow_h(x) = 2^{tow_{h-1}(x)}$。Erd\H{o}s--Szekeres 引理和 Erd\H{o}s--Szekeres 定理分别蕴含 ${\overline{R}_{mon}}(n;2)=(n-1)^2+1$ 和 ${\overline{R}_{mon}}(n;3)=\binom{2n-4}{n-2}+1$。由 Eli\'{a}\v{s} 和 Matou\v{s}ek 的一个结果可得 ${\overline{R}_{mon}}(n;4)\geq tow_3(\Omega(n))$。我们证明对每个 $r \geq 3$ 有 ${\overline{R}_{mon}}(n;r)\geq tow_{r-1}(\Omega(n))$。这尤其解决了 Eli\'{a}\v{s} 和 Matou\v{s}ek 以及 Moshkovitz 和 Shapira 提出的一个开放问题。利用单调着色的两种几何解释，我们展示了估计 ${\overline{R}_{mon}}(n;r)$ 与近期多位研究者考虑的两类拉姆齐型问题之间的联系。即，我们展示了其与高阶 Erd\H{o}s--Szekeres 定理以及序型齐次点序列的拉姆齐型问题之间的联系。我们还证明了对于 $N \geq r \geq 3$，$\binom{\{1,\dots,N\}}{r}$ 的 $r$-单调着色的数量为 $2^{N^{r-1}/r^{\Theta(r)}}$，这推广了 $N$ 条伪线的简单排列数量为 $2^{\Theta(N^2)}$ 这一熟知事实。