关于小奇圈对大团的多色 Ramsey 数的一点注记

设 $R_k(H;K_m)$ 为最小的数 $N$，使得用 $k+1$ 种颜色对 $K_{N}$ 的边进行任意着色时，要么对某个 $1\leqslant i\leqslant k$ 存在颜色 $i$ 中的单色 $H$，要么存在颜色 $k+1$ 中的单色 $K_{m}$。在这篇短注中，我们分别研究了当 $H$ 为 $C_5$ 或 $C_7$ 时 $R_k(H;K_m)$ 的下界。我们证明对于固定的正整数 $k$ 且 $m\rightarrow\infty$，有\n\begin{equation*} R_{k}(C_5;K_m)=\Omega(m^{\frac{3k}{8}+1}/(\log{m})^{\frac{3k}{8}+1}), \end{equation*}\n以及\n\begin{equation*} R_{k}(C_7;K_m)=\Omega(m^{\frac{2k}{9}+1}/(\log{m})^{\frac{2k}{9}+1}), \end{equation*}\n这略微改进了 Alon 和 R\"{o}dl 此前得到的已知下界 $R_{k}(C_{2\ell+1};K_m)=\Omega(m^{\frac{k}{2\ell-1}+1}/(\log m)^{k+\frac{2k}{2\ell-1}})$。证明基于随机块构造与随机放大（blowup）论证。