拓扑拉姆齐数与可数序数

我们在可数序数的背景下研究划分演算的拓扑版本。设 $\alpha$ 和 $\beta$ 为序数，$k$ 为正整数。我们记 $\beta\to_{top}(\alpha,k)^2$ 表示：对于 $\beta$ 的 2 元子集族的每一种红蓝着色，存在一个与 $\alpha$ 同胚的红齐性集，或一个大小为 $k$ 的蓝齐性集。满足此性质的最小 $\beta$ 即为拓扑拉姆齐数 $R^{top}(\alpha,k)$。我们证明了埃尔多斯-米尔纳定理的一个拓扑版本，即每当 $\alpha$ 可数时 $R^{top}(\alpha,k)$ 可数。更精确地，我们证明对所有可数序数 $\beta$ 和有限 $k$，有 $R^{top}(\omega^{\omega^\beta},k+1)\leq\omega^{\omega^{\beta\cdot k}}$。我们的证明基于一个弱版本埃尔多斯-米尔纳定理的新简易证明，该证明本身可能具有独立意义。我们还对某些小值 $\alpha$ 给出了更精细的上界，除其他结果外证明了：对所有有限 $k$，$R^{top}(\omega+1,k+1)=\omega^k+1$，$R^{top}(\alpha,k)< \omega^\omega$（当 $\alpha<\omega^2$ 时），$R^{top}(\omega^2,k)\leq\omega^\omega$ 以及 $R^{top}(\omega^2+1,k+2)\leq\omega^{\omega\cdot k}+1$。我们的计算使用了多种技术，包括序数的拓扑鸽巢原理、基于序数康托尔范式的树序考量，以及一些超滤论证。