关于 lacunary 整数序列多变量扩张下的空凸体最大体积

设 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 为满足 Hadamard 间隙条件的 lacunary 整数序列。对于任意固定维数 $d \geq 1$，我们给出关于拉伸向量 $\boldsymbol{\alpha} \in [0,1]^d$ 中拉丁格测度几乎全集上的扩张集合 $\{\boldsymbol{\alpha} a_n \}_{n \leq N}$ 对 1 取模的最大间隙的渐近上界。更确切地，我们证明对于任意 lacunary $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 和拉丁格测度几乎全集的 $\boldsymbol{\alpha}$，体积至少为 $(\log N)^{2+\varepsilon}/N$ 的 $[0,1]^d$ 中的任意凸集必包含集合 $\{\boldsymbol{\alpha} a_n \}_{n \leq N}$ 中某个元素（对 1 取模），其中 $\varepsilon > 0$。我们还建立了此结果的推广版本， wherein $d$ 维拉丁格测度被满足特定傅里叶衰减条件的一般测度取代。我们的结果在对数因子上是最佳的，且可特别恢复 $d=1$ 情形下的近期结果。