基于 Delta 覆盖的极小离散度上界

对于 $d$ 维单位立方体中的 $n$ 个元素的点集以及一类测试集，我们关注不包含任何点的测试集的最大体积。对于所有自然数 $n$、$d$，并在具有基数 $\vert \Gamma_\delta \vert$ 的 $delta$-cover 的假设下，我们证明存在一个点集，使得这种不含任何点的测试集的最大体积以 $\frac{\log \vert \Gamma_\delta \vert}{n} + \delta$ 为界。对于单位立方体上的轴平行盒子，这导致体积至多为 $\frac{4d}{n}\log(\frac{9n}{d})$，而在环面上为 $\frac{4d}{n}\log (2n)$。