单位立方体中大体积盒的最小弥散度

在本注记中，我们给出一种构造，改进了单位立方体中大体积盒最小弥散度的最佳已知界。设 $d>1$。$T \subset [0,1]^d$ 的弥散度定义为立方体内所有不与 $T$ 相交的轴平行盒的体积的上确界。立方体中 $n$ 个点的最小弥散度定义为对所有满足 $|T| = n$ 的 $T$ 取弥散度的下确界。将“大体积”情形定义为所有满足 $\frac{1}{4} < r \leq \frac{1}{2}$ 的体积类。最小弥散度的倒数记为 $N(r,d)$。当体积较大时，$N(r,d)$ 的最佳已知上界为 ${(r - \frac{1}{4})}^{-1}$ 阶。本注记给出的构造所得上界为 $$N(r,d) \leq \left \lfloor \frac{\pi}{\sqrt{r - \frac{1}{4}}} \right \rfloor - 3 .$$ 在条件 $d \geq C_{r}$ 下，我们的若干中间估计是精确的，其中 $C_r$ 为仅依赖于体积 $r$ 的正常数。