盒中 $s$-距离集大小的新上界

设 $q,d\geq 2$ 为整数。定义 $$J(q,d):=\frac 1q \Big( \min_{0<x<1} \frac{1-x^q}{1-x} x^{-\frac{q-1}{d}}\Big).$$ 设 \mbox{\cal G}\subseteq {\mathbb R}^n 为任意子集。我们用 d(\mbox{\cal G}) 表示 \mbox{\cal G} 中点之间的距离（非零）集合： d(\mbox{$\cal G$}):=\{d( p_1, p_2):~ p_1, p_2\in \mbox{$\cal G$}, p_1\ne p_2\}. 我们的主要结果是盒中 $s$-距离集大小的一个新上界。更具体地，设对每个 $1\leq i\leq n$，$A_i\subseteq \mathbb R$，$|A_i|=q\geq 2$ 为子集。考虑盒 \mbox{\cal B}:=\prod_{i=1}^n A_i\subseteq {\mathbb R}^n。假设 \mbox{\cal G}\subseteq \mbox{\cal B} 是满足 |d(\mbox{\cal G})|\leq s 的集合。令 $d:=\frac{n(q-1)}{s}$。则 |\mbox{$\cal G$}|\leq 2(qJ(q,d))^n. 我们在证明中使用了 Tao 的切片秩界方法。