伪欧氏空间中元素为不定距离的矩阵的嵌入维数

欧氏空间中的有限集若其中欧氏距离的数目为 $s$,则称为 $s$-距离集。确定给定维数的欧氏空间中可能最大的 $s$-距离集是颇具挑战性的。该问题仅在 $s$ 与维数取值较小时才得以解决。Lisoněk (1997) 借助计算机辅助与图表示理论,完成了维数不超过 $7$ 时最大 2-距离集的分类。本研究考虑伪欧氏空间 $\mathbb{R}^{p,q}$ 中与 Lisoněk 这些结果相类似的理论。我们考虑伪欧氏空间中的 $s$-不定距离集,其使用值 $$|| x-y ||=(x_1-y_1)^2 +\cdots +(x_p -y_p)^2-(x_{p+1}-y_{p+1})^2-\cdots -(x_{p+q}-y_{p+q})^2$$ 代替欧氏距离。我们针对 $s$-不定距离集的情境发展了对称矩阵的表示理论,该理论包含或改进了具有较大 $s$ 值的欧氏 $s$-距离集的结果。此外,我们对小维数下可能最大的 $2$-不定距离集进行了分类。