Johnson 图和 Hamming 图切换类的伪欧几里得表示及其最小维数

本文考虑伪欧几里得空间中图形的最低维数表示，其中相邻和非相邻关系反映在固定的标量平方值中。简单图 $(V,E)$ 的一个表示是将顶点映射到伪欧几里得空间 $\mathbb{R}^{p,q}$ 的函数 $\varphi$，使得当 $(u,v) \in E$ 时 $||\varphi(u)-\varphi(v)|| = a$，当 $(u,v) \notin E$ 且 $u \ne v$ 时为 $b$，当 $u = v$ 时为 $0$，其中 $a,b \in \mathbb{R}$，而 $||\boldsymbol{x}|| = \langle\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle\rangle = \sum_{i=1}^p x_i^2 - \sum_{j=1}^q x_{p+j}^2$ 是 $\mathbb{R}^{p,q}$ 中 $\boldsymbol{x}$ 的标量平方。对于 $\mathbb{R}^{p,q}$ 中的有限集合 $X$，定义 $A(X) = \{||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|| : \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in X, \boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{y} \}$。我们称 $X$ 为 $s$-不可定距离集，如果 $|A(X)| = s$。在 $\mathbb{R}^{p,0} = \mathbb{R}^p$ 中的 $s$-不可定距离集称为 $s$-距离集。从 Johnson 图的 Seidel 切换中获得的图有时可在相对于顶点数目较小的维度上获得欧几里得或伪欧几里得表示。例如，Lison\v{e}k（1997）从 Johnson 图的切换类中获得 $\mathbb{R}^8$ 中最大的 2-距离集以及 $\mathbb{R}^{p,1}$ 中 $p \ge 10$ 的球面 2-不可定距离集。在本文中，我们考虑 Johnson 图和 Hamming 图的切换类中的图，并对那些在 $\mathbb{R}^{p,q}$ 中具有最小可能维数 $p+q$ 的图进行分类。该方法恢复了已知结果，例如 Lison\v{e}k 构造的最大 2-（不可定）距离集，也为确定整个强正则图切换类的最小维数表示提供了统一框架。