包含汉明图 $H(n,m)$ 表示的极大 $m$-距离集

欧氏空间 $\mathbb{R}^d$ 中的集合 $X$ 称为 $m$-距离集，如果 $X$ 中两个不同点之间的欧氏距离集合的大小为 $m$。若 $\mathbb{R}^d$ 中不存在向量 $x$ 使得 $X$ 与 $\{x\}$ 的并仍然只有 $m$ 个距离，则称 $\mathbb{R}^d$ 中的 $m$-距离集 $X$ 是极大的。Bannai--Sato--Shigezumi (2012) 研究了包含约翰逊图 $J(n,m)$ 的欧氏表示的极大 $m$-距离集。本文将同样的问题推广到汉明图 $H(n,m)$。$H(n,m)$ 的欧氏表示是 $\mathbb{R}^{m(n-1)}$ 中的一个 $m$-距离集。我们证明了使得 $H(n,m)$ 的表示作为 $m$-距离集不是极大的最大 $n$ 为 $m^2 + m - 1$。此外，我们对 $m\leq 4$ 及任意 $n$ 下包含 $H(n,m)$ 表示的最大的 $m$-距离集进行了分类。我们还对 $\mathbb{R}^{2n-1}$ 中包含 $H(n,2)$ 表示的极大 $2$-距离集进行了分类。