Larman-Rogers-Seidel 定理推广的改进

若 $d$ 维欧几里得空间中有限集 $X$ 的任意两个不同点之间的距离集合大小为 $s$，则称其为 $s$-距离集。1977 年，Larman-Rogers-Seidel 证明，若一个两距离集的基数足够大，则存在整数 $k$ 使得两距离 $\alpha$、$\beta$ $(\alpha < \beta)$ 满足整数条件，即 $\frac{\alpha^2}{\beta^2}=\frac{k-1}{k}$。2011 年，Nozaki 将 Larman-Rogers-Seidel 定理推广到 $s$-距离集的情形，即若 $s$-距离集 $X$ 的基数 $|X|\geqslant 2N$，距离为 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$，其中 $N=\binom{d+s-1}{s-1}+\binom{d+s-2}{s-2}$，则数 $k_i=\prod_{j=1,2,\cdots,s,\text{ }j\neq i}\frac{\alpha_{j}^{2}}{\alpha_{j}^{2}-\alpha_{i}^{2}}$ 为整数。在本注记中，我们降低了 $\mathbb{R}^d$ 中 $s$-距离集整数条件要求的下界。此外，我们可以证明在 $\mathbb{R}^d$ 中仅存在有限多个满足 $|X|\geqslant 2\binom{d+s-1}{s-1}$ 的 $s$-距离集 $X$。