超凯勒流形的黎曼-罗赫多项式与托德类的正性

对于维数为 $2n$ 的超凯勒流形 $X$，Huybrechts 证明了存在常数 $a_0, a_2, \dots, a_{2n}$ 使得对任意 $X$ 上的线丛 $L$ 有 $$\chi(L) =\sum_{i=0}^n\frac{a_{2i}}{(2i)!}q_X(c_1(L))^{i}$$，其中 $q_X$ 是 $X$ 的 Beauville-Bogomolov-Fujiki 二次型。此处多项式 $\sum_{i=0}^n\frac{a_{2i}}{(2i)!}q^{i}$ 称为 $X$ 的黎曼-罗赫多项式。本文中，我们证明 $X$ 的黎曼-罗赫多项式的所有系数均为正。这证实了 Cao 与作者所提的一个猜想，该猜想蕴含 Kawamata 关于射影超凯勒流形的有效非零消失猜想。它也证实了 Riess 关于黎曼-罗赫多项式严格单调性的问题。为了估计黎曼-罗赫多项式的系数，我们借助 Rozansky-Witten 理论，遵循 Hitchin、Sawon 与 Nieper-Wi{\ss}kirchen 的思想，给出了 $X$ 的托德亏格之根 $\text{td}^{1/2}(X)$ 的一个 Lefschetz 型分解。