Hurwitz 乘积迹的渐近正性

考虑关于 $t$ 的多项式 $\text{tr} (A + tB)^m$，其中 $A$ 和 $B$ 为正 Hermite 矩阵，$m \in \mathbb{N}$。Bessis-Moussa-Villani 猜想（以 Lieb 和 Seiringer 的等价形式表述）指出该多项式的系数均为非负。我们证明了在非平凡情形 $AB \neq 0$ 下，这些系数至少是渐近正的。更确切地说，我们证明了对于所有整数 $m \geq m_0$，第 $k$ 个系数为正，其中 $m_0$ 依赖于 $A$、$B$ 和 $k$。