两变量复多项式拓扑的上界估计

本文研究两变量复多项式 $H$，其满足：最高次齐次部分一般（无多重零线）；低次项非常数。特别地，在此条件下多项式 $H$ 至少有两个不同临界值。我们证明该结论的定量版本。假设 $H$ 经适当规范化（通过对像空间与源空间作仿射坐标变换），我们证明以下量的上界：低次项系数之和；包含给定水平曲线 $S_t=\{ H=t\}$ 所有非平凡拓扑的最小双圆盘尺寸；在 $H_1(S_t,\zz)$ 中沿从 $t$ 到 $H$ 临界值的适当路径消失的闭链代表元的最小长度；上述闭链的交指数。所有这些结果（除最后一项界外）用于我与 Yu.S.Ilyashenko 的联名工作“Restricted version of the Hilbert 16-th problem”（见于 arxiv）。在后者中我们给出了一大类 Abel 积分零点数的显式上界。