素数阶群中加性元组的最小数目

对于一个素数 $p$ 和一个整数序列 $a_0,\dots,a_k\in \{0,1,\dots,p\}$，令 $s(a_0,\dots,a_k)$ 为满足 $x_0=x_1+\dots + x_k$ 的 $(k+1)$-元组 $(x_0,\dots,x_k)\in A_0\times\dots\times A_k$ 的最小数目，其中 $A_0,\dots,A_k\subseteq\mathbb{Z}_p$ 分别是大小为 $a_0,\dots,a_k$ 的子集。Lev 的一个优雅论证（由 Samotij 和 Sudakov 独立重新发现）表明，存在一个极值配置，其中所有集合 $A_i$ 都是适当长度的区间，并且当 $a_0=\dots=a_k=:a$ 且 $A_0=\dots=A_k$ 时，对于 Bajnok 重新提出的相关问题，只要 $k$ 不等于 1 模 $p$，同样的结论也成立。通过应用基本的傅里叶分析，我们证明对于 Bajnok 问题，如果 $p\ge 13$ 和 $a\in\{3,\dots,p-3\}$ 固定，而 $k\equiv 1\pmod p$ 趋于无穷大，那么极值配置至少在两个仿射不等价的集合之间交替。