连续幂之和作为完美幂

本文研究当 $k\equiv 2\pmod{4}$ 时的方程 $$x^k + (x+1)^k = y^n,\quad n\geq 3,$$。我们证明，当 $6\leq k\leq 100$ 或 $k$ 具有同余于 $3\pmod{4}$ 的奇素因子时，仅有的解为 $x=0, -1$。我们使用了线性对数形式、模方法以及 Thue 方程的求解。