关于作为三项和等差数列立方和的幂

仅用初等方法，Cassels 与 Uchiyama（各自独立地）确定了所有作为三个连续立方和的平方。张中峰推广了该结果，确定了所有作为三个连续立方和的完全幂。近来，方程 $(x-r)^k + x^k + (x+r)^k$ 已被张中峰对 $k=4$ 以及 Koutsianas 对 $k=2$ 所研究。在本文中，我们通过考虑 $k=3$ 的情形补充 Cassels、Koutsianas 与张的工作，并证明方程 $(x-r)^3+x^3+(x+r)^3=y^n$ 在 $n\geq 5$ 为素数且 $0 < r \leq 10^6$ 时仅有满足 $xy=0$ 的平凡解 $(x,y,n)$。