关于作为九项等差数列立方和的完全幂

我们研究方程 $(x-4r)^3 + (x-3r)^3 + (x-2r)^3+(x-r)^3 + x^3 + (x+r)^3+(x+2r)^3 + (x+3r)^3 + (x+4r)^3 = y^p$，这是 A. Argáez-García 与第四作者此前工作（作为三项、五项和七项等差数列立方和的完全幂）的自然延续。在假设 $0 < r \leq 10^6$、$p \geq 5$ 为素数且 $\gcd(x, r) = 1$ 下，我们证明解必须满足 $xy=0$。此外，我们更详细地研究了素数指数 $2$ 和 $3$ 的情形。在假设 $r>0$ 为正整数且 $\gcd(x, r) = 1$ 下，我们通过利用椭圆曲线上整点的显式构造，证明对 $p=2$ 和 $p=3$ 存在无穷多解。我们融合计算与代数数论中的方法来克服增大的计算挑战。最显著的是，通过诉诸 Bilu、Hanrot 与 Voutier 的本原因子定理以及 Chabauty 方法，并较早使用 Thue 方程求解器，获得了显著的计算效率。