关于三个正有理数的和与积的整数值

1997年我们证明了：若 $n$ 形如 $$4k, \quad 8k-1\quad {\rm or} \quad 2^{2m+1}(2k-1)+3,$$ 其中 $k,m\in \mathbb N,$ 则不存在满足 $$xyz = 1, \quad x+y+z = n.$$ 的正有理数 $x,y,z$。最近，N. X. Tho证明了如下命题：设 $a\in\mathbb N$ 为奇数，且设 $n\equiv 0\pmod 4$ 或 $n\equiv 7\pmod 8$。则方程组 $$xyz = a, \quad x+y+z = an.$$ 在正有理数 $x,y,z$ 中无解。我们结果的一个代表性例子是如下命题：假设 $a,n\in\mathbb N$ 满足下列条件中至少一个成立：$\bullet$ $n\equiv 0\pmod 4$ $\bullet$ $n\equiv 7\pmod 8$ $\bullet$ $a\equiv 0\pmod 4$ $\bullet$ $a\equiv 0\pmod 2$ 且 $n\equiv 3\pmod 4$ $\bullet$ $a^2n^3=2^{2m+1}(2k-1)+27$ 对某个 $k,m\in \mathbb N$。则方程组 $$xyz = a, \quad x+y+z = an.$$ 在正有理数 $x,y,z$ 中无解。