两类新数及其相关的整除性结果

我们主要引入两类由 $$R_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k\frac1{2k-1}\quad\ (n=0,1,2,...)$$ 和 $$S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k(2k+1)\quad\ (n=0,1,2,...)$$ 给出的新数。我们发现这类数具有许多有趣的算术性质。例如，若 $p\equiv1\pmod 4$ 是素数且 $p=x^2+y^2$（其中 $x\equiv1\pmod 4$ 且 $y\equiv0\pmod 2$），则 $$R_{(p-1)/2}\equiv p-(-1)^{(p-1)/4}2x\pmod{p^2}.$$ 此外，$$\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}S_k\in\mathbb Z\ \ {and}\ \ \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}S_k(x)\in\mathbb Z[x]\quad\text{for all}\ n=1,2,3,...,$$ 其中 $S_k(x)=\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}j(2j+1)x^j$。对于任意正整数 $a$ 和 $n$，我们 somewhat surprisingly 地证明了 $$\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)\binom{n-1}k^a\binom{-n-1}k^a\in\mathbb Z\ \ {and} \ \ \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{n-1}k^a\binom{-n-1}k^a}{4k^2-1}\in\mathbb Z.$$ 我们还解决了 V.J.W. Guo 和 J. Zeng 的一个猜想，并提出了若干供进一步研究的猜想。