关于二项式和的一些可除性性质

在本文中，我们考虑两个特定的二项式和\n\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(20k^2+8k+1){\binom{2k}{k}}^5 (-4096)^{n-k-1} \end{align*}\n和\n\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(120k^2+34k+3){\binom{2k}{k}}^4\binom{4k}{2k} 65536^{n-k-1}, \end{align*}\n它们受 Guillera 得到的关于 $\frac{1}{\pi^2}$ 的两个级数启发。我们考察它们的可除性性质，并证明对于所有整数 $n\geq 2$，它们都能被 $2n^2 \binom{2n}{n}^2$ 整除。这些可除性性质强于 He 所发现的可除性结果，后者利用 WZ 方法证明了上述两个和能被 $2n \binom{2n}{n}$ 整除。