中间素因子的分布

令 $P^{\left(\frac 12\right)}(n)$ 表示 $n$ 的中间素因子（计入重数）。更一般地，对任意 $\alpha \in (0,1)$，可考虑 $n$ 的 $\alpha$-位置素因子 $P^{(\alpha)}(n)$。先前已证明 $\log \log P^{(\alpha)}(n)$ 具有正规阶 $\alpha \log \log x$，且其取值围绕该值服从高斯分布。我们通过获得对满足 $P^{(\alpha)}(n)=p$ 的 $n\leq x$ 的计数渐近公式来扩展该工作，其中素数 $p$ 在直至 $x$ 的较宽范围内。我们给出这些结果的若干应用，包括对中间素因子几何平均的探究，我们发现 $\frac 1x \sum_{1<n \le x} \log P^{\left(\frac 12 \right)}(n) \sim A(\log x)^{\varphi-1}$，其中 $\varphi$ 为黄金比，$A$ 为显式常数。在此过程中，我们获得了 Lichtman 近期关于“剖分”的 Mertens 定理和式 $\sum_{\substack{P^+(n) \le y \\ \Omega(n)=k}} \frac{1}{n}$（对大值 $k$）工作的推广。