通过广义 Dickman 分布对一些广义 Mertens 公式的概率证明

经典 Mertens 公式表述为 $\prod_{p\le N}\big(1-\frac1p\big)^{-1}\sim e^\gamma\log N,$ 其中乘积取遍所有小于等于 $N$ 的素数 $p$，$\gamma$ 为 Euler-Mascheroni 常数。由 Euler 乘积公式，这等价于以下任一陈述：$$\begin{aligned} &i. \lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{n:p|n\Rightarrow p\le N}\thinspace\frac1n}{\sum_{n\le N}\frac1n}=e^\gamma\ \ &ii. \sum_{n:p|n\Rightarrow p\le N}\thinspace\frac1n\sim e^\gamma\log N. \end{aligned}$$ 通过一些随机整数构造以及分布弱收敛到所谓广义 Dickman 分布的判据，我们得到了一些广义 Mertens 公式，其中一些是新的，一些已用数论工具证明。例如，仿照 (i)，我们证明若 $A$ 是素数集的一个子集，相对于所有素数集具有自然密度 $\theta\in(0,1]$，则 $$\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{n:p|n\Rightarrow p\le N\thinspace\text{and}\thinspace p\in A}\frac1n} {\sum_{n\le N:p|n\Rightarrow p\in A}\frac1n}=e^{\gamma\theta}\Gamma(\theta+1),$$ 并且对任意 $k\ge2$， $$\lim_{N\to\infty}\frac{\sum^{'(k)}_{n:p|n\Rightarrow p\le N\thinspace\text{and}\thinspace p\in A}\frac1n} {\sum^{'(k)}_{n\le N:p|n\Rightarrow p\in A}\frac1n}=e^{\gamma\theta}\Gamma(\theta+1),$$ 其中 $\sum^{'(k)}$ 表示求和限制于 $k$-自由正整数。仿照 (ii)，我们例如证明 $\sum^{'(k)}_{n:p|n\Rightarrow p\le N}\frac1{n_{\{(k-1)-\text{free}\}}\phi(n_{\{(k-1)-\text{power}\}})}\sim e^\gamma\log N,$ 其中 $\phi$ 为 Euler totient 函数，$n_{\{(k-1)-\text{free}\}}$ 和 $n_{\{(k-1)-\text{power}\}}$ 分别为 $n$ 的 $(k-1)$-自由部分与 $(k-1)$-幂部分。