关于 $\Gamma^{(n)}(1)$ 及相关广义常数序列的超越性结果

欧拉-马塞尔齐常数$\gamma=0.577215...$和欧拉-戈姆佩尔茨常数$\delta=0.596347...$目前尚未被证明是有理数，但已证明它们至少一个是超越数。这两个常数通过哈罗德的著名方程$\gamma+\delta/e=\textrm{Ein}(1)$相互关联，最近已推广到$\gamma^{(n)}+\delta^{(n)}/e=\eta^{(n)},\:n\geq0$，其中$\gamma^{(n)}$、$\delta^{(n)}$、$\eta^{(n)}$分别来源于$\textrm{Gumbel}(0,1)$概率分布的原始、条件和部分矩。通过$\textrm{Gumbel}(0,1)$生成函数研究$\gamma^{(n)}=(-1)^{n}\Gamma^{(n)}(1),\:n\geq1$，我们发现$\gamma^{(2n)}\in\mathbb{Q}[\gamma,\gamma^{(2)}$, $\gamma^{(3)},...,\gamma^{(2n-1)}]$ for $n\geq2$且$\gamma^{(n)}$是超越数。随后，我们通过施迪洛夫斯基定理表明$\eta^{(n)}$是代数无关的，因此是超越的，对于所有$n\geq0$均成立，这意味着每个配对$\left\{\gamma^{(n)},\delta^{(n)}/e\right\}$和$\left\{\gamma^{(n)},\delta^{(n)}\right\}$中至少有一个元素，以及三元组$\left\{\gamma^{(n)},\delta^{(n)}/e,\delta^{(n)}\right\}$中至少两个元素都是超越的，对所有$n\geq1$均成立。进一步分析$\gamma^{(n)}$和$\eta^{(n)}$揭示了$\delta^{(n)}/e$和$\delta^{(n)}$也是超越的，下渐近密度至少为1/2。最后，我们为满足“非交替类比”方程$\gamma^{(n)}+\widetilde{\delta}^{(n)}/e=\widetilde{\eta}^{(n)}$的序列$\widetilde{\delta}^{(n)}$和$\widetilde{\eta}^{(n)}$提供了平行结果。