关于欧拉常数的无理性及相关渐近公式

通过定义 $$I_n:=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{(x(1-x)y(1-y))^n}{(1-xy)(-\log xy)}\ dx dy$$ Sondow（见[2]）证明了 $$I_n=\binom{2n}{n} \gamma+L_n-A_n$$ 我们证明了当 $n\to\infty$ 时 $L_n$ 与 $A_n$ 的渐近公式，$$L_n=\binom{2n}{n}\left(\log \left( {\frac{{3n}}{2}} \right) +\mathcal{O}\!\left( {\frac{1}{n}} \right)\right)$$ 以及 $$A_n\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(\gamma+\ln\frac32+\ln n\right)$$ 利用 Sondow 给出的欧拉常数无理性判据的充分条件，我们证明了 $\gamma$ 是无理数。