具有双项势的 Hill 算子的不稳定性区带的渐近性态

设 $\gamma_n$ 表示 Hill 算子 $Ly= -y^{\prime \prime} - [4t\alpha \cos2x + 2 \alpha^2 \cos 4x ] y,$ 的第 $n$ 个不稳定性区带的长度,其中 $\alpha \neq 0,$ 且 $\alpha, t$ 要么均为实数,要么均为纯虚数。对偶数 $n$ 我们证明:若 $t, n$ 固定,则当 $\alpha \to 0$ 时,$$\gamma_n = | \frac{8\alpha^n}{2^n [(n-1)!]^2} \prod_{k=1}^{n/2} (t^2 - (2k-1)^2) | (1 + O(\alpha)),$$ 而若 $\alpha, t$ 固定,则当 $n \to \infty$ 时,$$\gamma_n = \frac{8 |\alpha/2|^n}{[2 \cdot 4 ... (n-2)]^2} | \cos (\frac{\pi}{2} t) | [ 1 + O (\frac{\log n}{n}) ].$$ 类似的公式(见定理 \ref{thm2} 与 \ref{thm4})对奇数 $n$ 也成立。$\alpha \to 0$ 时的渐近式蕴含了关于整数平方的有趣恒等式。