关于薄扇形中格点个数的研究

在以原点为圆心、半径为 $R$ 的圆上，考虑关于固定直线 $y = \alpha x$ 的一个“薄”扇形，其边界由直线 $y = (\alpha \pm \epsilon) x$ 给出，其中当 $R \to \infty$ 时 $\epsilon = \epsilon_R \rightarrow 0$。我们建立了 $S_{\alpha}(\epsilon,R)$（即位于该扇形中的整数格点个数）的渐近计数。我们的结果既依赖于 $\epsilon$ 的衰减速率，也依赖于 $\alpha$ 的有理/无理类型。特别地，我们证明若 $\alpha$ 是丢番图的，则只要对某个 $t<2$ 有 $\epsilon R^{t} \rightarrow \infty$，$S_{\alpha}(\epsilon,R)$ 就渐近于该扇形的面积。