带衰减的交错调和级数的渐近性

我们求出了级数 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n n^{-1} \exp(-t/n)$ 在 $t\to+\infty$ 时的渐近性。结果是一个由 $\exp(-(2\pi t)^{1/2})$ 主导的关于 $t$ 的振荡函数。中间步骤是求出函数 $F(x)=(1+\exp(\|x\|^2))^{-1}$ 的二维 Fourier 变换 $\hat F(\xi)$ 在 $\|\xi\|\to\infty$ 时的渐近性。