与多项式递推相关的增长常数的无理性

我们考虑满足形如 $x_{n+1} = P(x_n)$ 递推关系的整数序列，其中 $P$ 为次数 $d > 1$ 的某多项式。若此类序列趋于无穷，则其满足形如 $x_n \sim A \alpha^{d^n}$ 的渐近公式，但关于常数 $\alpha$ 所知甚少。本文中，我们证明 $\alpha$ 恒为无理数或整数。事实上，我们证明了更强的结论：若序列 $G_n$ 满足形如 $G_n = A \alpha^n + B + O(\alpha^{-\epsilon n})$ 的渐近公式，其中 $A,B$ 为代数数且 $\alpha > 1$，且该序列含有无穷多个整数，则 $\alpha$ 为无理数或整数。