关于代数数之幂的有理逼近

大约五十年前，Mahler 证明了：若 $\alpha>1$ 为有理数但非整数，且 $0<l<1$，则除有限个依赖于 $\alpha$ 与 $l$ 的整数 $n$ 外，$\alpha^n$ 的小数部分与 $l^n$ 的距离大于 $l^n$。我们彻底回答了 Mahler 的一个问题，证明了同样的结论对所有不是 Pisot 数的 $d$ 次根的代数数均成立。利用相关方法，我们还回答了 Mendes France 的一个问题，完全刻画了使得 $\alpha^n$ 的连分数周期长度趋于无穷的二次无理数 $\alpha$。