关于马勒测度在迭代下的性态

对于代数数 $\alpha$，我们以 $M(\alpha)$ 表示 $\alpha$ 的马勒测度。由于 $M(\alpha)$ 仍是代数数（事实上是代数整数），$M(\cdot)$ 是 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的自映射，从而定义了一个动力系统。$\alpha$ 的轨道大小记为 $\# \mathcal{O}_M(\alpha)$，是 $\alpha$ 在 $M$ 下的前向轨道的基数。我们证明了对每个至少为 3 的次数和每个非单位范数，存在具有任意轨道大小的代数数。接着我们证明对 4 次代数单位，轨道大小必为 1、2 或无穷。我们还展示了存在更大次数的代数单位具有任意大但有限的轨道大小。