Mahler 方法：线性关系、超越性及其在自动数中的应用

本文研究 Mahler 方法。我们详细研究了 Mahler 函数在代数点取值之间线性关系的结构。特别地，给定域 ${\bf k}$、Mahler 函数 $f(z)\in{\bf k}\{z\}$ 以及代数数 $\alpha$（$0<\vert \alpha\vert <1$，且不是 $f$ 的极点），我们证明总能判定数 $f(\alpha)$ 是否为超越数。在后一种情形中，我们得到 $f(\alpha)$ 属于数域 ${\bf k}(\alpha)$。我们还考虑了这些结果对经典数论问题的一些推论：在整数（或更一般地，代数）基下代数数数字序列的研究。我们的结果基于 Philippon [31] 的一个定理并对其进行了改进。我们还简化了他的证明。