通过径向渐近分析 Mahler 函数的代数独立性

我们提出了一种在 Mahler 方法背景下研究代数独立性的新方法。特别是，我们的方法利用 Mahler 函数 $f(z)$ 当 $z$ 沿径向趋于单位根时的渐近行为，来推导关于 $f(z)$ 在代数数处取值的代数独立性结果。我们将该方法应用于二次 Mahler 函数的典型例子；即应用于函数方程 $F(z)-(1+z+z^2)F(z^4)+z^4F(z^{16})=0$ 的幂级数解 $F(z)$。具体而言，我们证明了函数 $F(z)$、$F(z^4)$、$F'(z)$ 和 $F'(z^4)$ 在 $\mathbb{C}(z)$ 上是代数独立的。应用 Nishioka 的一项著名结果，使得在单位圆盘内的非零代数数 $\alpha$ 处评估这些函数时，可以将 $\mathbb{C}(z)$ 替换为 $\mathbb{Q}$。