涉及导数的马勒问题B的一个版本

1902年，Paul Stäckel在原点附近构造了一个超越解析函数$f(z)$，该函数及其逆函数，连同其导数，在该邻域内的所有代数点处均取代数数值。受此结果启发，马勒于1976年质疑是否存在一个超越整函数$f(z)$，使得$f(\overline{\mathbb{Q}})$和$f^{-1}(\overline{\mathbb{Q}})$都是$\overline{\mathbb{Q}}$的子集。该问题于2017年由Marques和Moreira解决。由于Stäckel的结果涉及导数，自然要问对于超越整函数，我们是否有一个涉及导数的类似结果。在本文中，我们证明了此类函数有不可数个。