整函数下单连通域的连通原像研究

设 $f$ 为超越整函数，$U,V\subset\mathbb{C}$ 为互不相交的单连通域。是否 $f^{-1}(U)$ 与 $f^{-1}(V)$ 中必有一个不连通？1970 年，Baker 为证明超越整函数不能有两个不相交的完全不变域，隐式地给出了肯定回答。（若 $f^{-1}(U)=U$，则称域 $U\subset \mathbb{C}$ 在 $f$ 下完全不变。）Julien Duval 近期注意到 Baker 的论证中存在缺陷（该论证亦被用于 Baker 结果的后续推广与扩展）。我们表明上述问题的答案是否定的；因此该缺陷无法弥补。事实上，对于函数 $f(z)= e^z+z$，存在无穷多个两两不交的单连通域的集合，每个都具有连通原像。我们还通过给出一个具有无穷多个极点且具同样性质的超越整函数例子，回答了 Eremenko 一个长期存在的问题。此外，我们证明存在具有上述性质且奇异值集 $S(f)$ 有界的函数 $f$；换言之，$f$ 属于 Eremenko-Lyubich 类。另一方面，若 $S(f)$ 有限（或施加某些附加假设），许多原始结果确实成立。为便于研究界，我们也包含了 Baker 论文证明中错误的说明，以及受波及的其他论文的综述。