穿孔平面上逃逸集的连通性

我们考虑穿孔平面 $\mathbb{C}^*=\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 上超越自映射的动力学。我们证明逃逸集 $I(f)$ 要么连通，要么具有无穷多个连通分支。我们还证明 $I(f)\cup \{0,\infty\}$ 要么连通，要么恰有两个连通分支，一个含 $0$，另一个含 $\infty$。这给出了关于集合 $I(f)$ 与 $I(f)\cup \{0,\infty\}$ 连通性的三分法，并给出每种情况出现的函数例子。最后，尽管超越整函数的Baker域是单连通的，我们通过构造首个此类例子表明在 $\mathbb{C}^*$ 中Baker域可以是双连通的。我们还证明若 $f$ 有双连通Baker域，则其闭包同时包含 $0$ 与 $\infty$，从而 $I(f)\cup\{0,\infty\}$ 连通。