$\mathbb{F}_{3}$ 上四次幂级数的丢番图逼近与连分式展开
数论
2020-10-23 v1
摘要
尽管 Roth 定理指出所有无理代数数的无理测度均为 2，且在特征零的函数域上同样成立，但在正特征函数域上发现了一些反例。这首先由 Mahler 于 1949 年在其关于丢番图逼近的基础论文中提出。似乎除特定元素（如具有有界部分商的幂级数）外，Roth 定理均成立。迄今为止，仅有一个由 Mills 与 Robbins 于 1986 年发现、具有无界部分商的元素被确认具有此性质。它涉及一个 上的四次幂级数，其连分式展开具有显著的模式。该连分式展开由 Buck 与 Robbins 明确描述，后来 Lasjaunias 使用另一种较为简易的方法也给出了描述。此外，Lasjaunias 改进了其与 Roth 定理相关的无理测度值。我们将看到，该幂级数包含于一个大型四次幂级数族中，其连分式展开与无理测度均可被明确给出。此外，我们将研究 上其他四次幂级数例子的有理逼近，并扩展由 Mahler 开创的反例集合。
引用
@article{arxiv.2010.11892,
title = {Diophantine approximation and continued fraction expansion for quartic power series over $\mathbb{F}_{3}$},
author = {Khalil Ayadi and Awatef Azaza and Salah Beldi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2010.11892},
year = {2020}
}
备注
24 pages