关于多项式递推相伴的增长常数的超越性

设 $P(x):=a_d x^d+\cdots+a_0\in\mathbb{Q}[x]$，$a_d>0$，为次数 $d\geq 2$ 的多项式。设 $(x_n)$ 为满足 \begin{equation*} x_{n+1}=P(x_n)\mbox{对所有}\quad n=0,1,2\ldots,\quad\mbox{且} \quad x_n\to\infty\quad\mbox{当}\quad n\to\infty. \end{equation*} 的整数序列。令 $\alpha:=\lim_{n\to\infty} x^{d^{-n}}_n$。则根据 Dubickas \cite{dubickas} 近期的结果，在假设 $a_d^{1/(d-1)}\in\mathbb{Q}$ 下，$\alpha$ 要么是超越数，要么可以是整数，要么是其逆元为在 $\mathbb{Q}$ 上共轭的二次 Pisot 单位。本文中，我们在不假设 $a_d^{1/(d-1)}$ 属于 $\mathbb{Q}$ 的条件下研究此类 $\alpha$ 的性质，并证明要么该数 $\alpha$ 是超越数，要么 $\alpha^h$ 是一个 Pisot 数，其中 $h$ 为数域 $\mathbb{Q}(\alpha, a_d^{-\frac{1}{d-1}})$ 的伽罗瓦闭包的挠子群的阶。本文给出的其他结果考察了不等式 $||q_1 \alpha_1^n+\cdots+q_k \alpha_k^n +\beta||<\theta^n$ 在 $(n,q_1,\ldots,q_k)\in \mathbb{N}\times(K^\times)^k$ 中的解，考虑 $\beta$ 是有理数还是无理数。此处，$K$ 表示一个数域，且 $\theta\in (0,1)$。记号 $||x||$ 表示 $x$ 与 $\mathbb{Z}$ 中最近整数的距离。